پاسخ فعالیت صفحه 123 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۳ صفحه ۱۲۳ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مفهوم **حدود یک طرفه** را در یک نقطه مرزی تابع چندضابطه‌ای بررسی می‌کند و نشان می‌دهد که حد دو طرفه تنها زمانی وجود دارد که حد راست و چپ برابر باشند. --- ### الف) حد راست ($athbf{x \to ۲^+}$) * **مفهوم**: وقتی $x$ از مقادیر **بزرگتر از ۲** به ۲ نزدیک می‌شود ($x \to ۲^+$)، از ضابطه $athbf{f(x) = -x + ۳}$ استفاده می‌کنیم. * **محاسبه**: $$\lim_{x \to ۲^+} f(x) = \lim_{x \to ۲^+} (-x + ۳) = -۲ + ۳ = \mathbf{۱}$$ اگر متغیر $x$ با مقادیر بزرگتر از ۲ به ۲ نزدیک شود، آن‌گاه مقادیر $f(x)$ به عدد **۱** نزدیک می‌شوند. (نقطه توخالی در $(۲, ۱)$) --- ### ب) حد چپ ($athbf{x \to ۲^-}$) * **مفهوم**: وقتی $x$ از مقادیر **کوچکتر از ۲** به ۲ نزدیک می‌شود ($x \to ۲^-$)، از ضابطه $athbf{f(x) = x^۲}$ استفاده می‌کنیم. * **محاسبه**: $$\lim_{x \to ۲^-} f(x) = \lim_{x \to ۲^-} x^۲ = (۲)^۲ = \mathbf{۴}$$ اگر متغیر $x$ با مقادیر کوچکتر از ۲ به ۲ نزدیک شود، آن‌گاه مقادیر $f(x)$ به عدد **۴** نزدیک می‌شوند. (نقطه توخالی در $(۲, ۴)$) --- ### پ) آیا تابع $f$ در نقطه $x=۲$ حد دارد؟ * **شرط وجود حد**: حد تابع در یک نقطه زمانی وجود دارد که **حد چپ و حد راست** در آن نقطه **مساوی** باشند: $\mathbf{\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)}$. * **مقایسه**: $$\lim_{x \to ۲^-} f(x) = ۴ \quad \text{و} \quad \lim_{x \to ۲^+} f(x) = ۱$$ * **نتیجه**: چون $\mathbf{۴ \ne ۱}$ است، حد تابع $f$ در $x=۲$ **وجود ندارد**. **پاسخ**: $\mathbf{خیر}$، تابع $f$ در نقطه $x=۲$ حد **ندارد**.